ベクトル解析
エディントンのεとクロネッカーのδの関係式の証明
エディントンのε(Eddington epsilon)はレヴィ=チヴィタ記号(Levi-Civita symbol)とも言われ、ベクトル解析には重要です。
そんなエディントンのイプシロン(レヴィ=チヴィタ記号)の代表的で基礎的な証明問題をここで紹介します。
(問題)
エディントンのεとクロネッカーのδの関係式
εijkεilm=δjlδkm-δjmδkl
を証明せよ。
(ポイント)
ベクトル解析ではたくさんのベクトルの外積の計算をしなくてはなりません。その時に、このエディントンのεを用いて表された式の計算は必須で、この公式を用いることも極めて多いので必ず暗記しなくてはなりません。
物理の実際上の計算では、この証明は必ずしも覚えている必要はありませんが、公式を習ったときにはこの証明が問われることもありますので、参考までに。
「正規直交基底ベクトル」という単語に身構えてしまう人も多いかと思います。
線形代数の教科書などを見ると厳密な定義などが載っていますが、ここはあまり深く考えずにxyz座標におけるベクトルex, ey, ezや、
球座標(3次元の極座標)におけるベクトルer,eθ,eφのような直交する単位ベクトルを一般化したものであると考えればよいでしょう。
